Números Complexos

Neste post será explicado de forma breve e simples os tipos de notação dos números complexos, conversão entre estes tipos de notação e como são realizados cálculos com números complexos.

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Os números complexos existem para resolver, basicamente, 3 tipos de problemas matemáticos:

· Raiz quadrada de números negativos
· Calcular seno e cossenso com valores superiores a 1 e inferiores a -1.
· Logarítimo de número negativo

>>Formas de notação

· Notação retangular (cartesiana)

Onde:

a = parte real
b = parte imaginária
z = número complexo

· Notação polar

Onde:

φ = ângulo das coordenadas real e imaginária

· Notação Euler (exponencial)

No gráfico abaixo podemos visualizar todos estes elementos das notações acima citados

 

>>Identificação dos quadrantes

· Forma retangular

Quadrante I – Valor de a e b são positivos
Quadrante II – Valor de a é negativo e b é positivo
Quadrante III – Valor de a e b são negativos
Quadrante IV – Valor de a é positivo e b é negativo

· Forma polar

Quadrante I – φ entre 0° e +90°
Quadrante II – φ entre +90° e +180°
Quadrante III – φ entre –180° e –90°
Quadrante IV – φ entre 0° e –90°

>>Conversão de notações

· Notação retangular para notação polar

Para encontrar |z| basta fazer a soma vetorial de a e b:

Para encontrar o ângulo phi basta aplicar o arco tangente de b por a:

OBS: No quadrante II , o resultado do ângulo φ é acrescido em 180° e no quadrante III, o resultado do ângulo φ é decrescido em 180°.

· Notação polar para notação retangular

OBS: O ângulo φ determinará o sinal de a e b de acordo com seu quadrante, portanto, num ângulo de -80°, por exemplo, o valor de a será negativo e o de b será positivo.

>>Operações com números complexos

· Soma e subtração

Para realizar soma ou subtração entre números complexos, é interessante que ambos estejam em notação retangular:

· Produto, divisão, potência

Para realizar operação de produto, divisão, potência e raiz, é interessante que ambos os números estejam na notação polar

· Radiciação

Na radiciação, se for raiz quadrada ela gera dois vetores com defasagem de 180° (soma 360°); Na raiz cúbica ela gera três vetores defasados em 120° (soma 360°) e assim por diante.

Exemplo, na raiz cúbica são gerados 3 vetores:

Primeiro vetor gerado

Segundo vetor gerado

Terceiro vetor gerado

OBS: Quando o resultado é um ângulo superior a 180°, basta subtrair 360° ângulo obtido, este ajuste é necessário para a resolução de alguns cálculos em engenharia.